BAB 1
DASAR-DASAR LOGIKA
1.1 PENGERTIAN UMUM LOGIKA
Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan
rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti
sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan
modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri
dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang
juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof
PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a2+b2=c2
.
MATEMATIKA DAN FILSAFAT
Persamaan filsafat dan matematika
- Kerja
Filosof adalah berpikir konsep.
- Kerja
Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.
Perbedaan filsafat dan matematika
- Filsafat
bebas menerapkan berbagai metode rasional.
- Matematikawan
hanya menerapkan metode deduksi.
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut BETRAND RUSSEL
matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari
pangkal fikir umum semua penalaran.
Ini berkaitan dengan konsepsi matematika
sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan
keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu
yang bersifat abstrak dan deduktif.
MAKNA LOGIKA
Berasal dari bahasa yunani
“LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan
untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran
kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh
ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua
ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN
yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika
secara intensif.
Dasar pemikiran logika klasik
adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah)
dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada
kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak
bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah
dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar
atau mutlak salah alias kabur.
Untuk mengatasi masalah yang
terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut,
seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada
tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA
KABUR (FUZZY LOGIC).
PADA LOGIKA FUZZY
- Nilai kebenarn bukan bersifat crisp
(tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
- Digunakan untuk merumuskan
pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke
dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
- Pada aplikasinya dalam bidang
komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia
akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.
HUBUNGAN MATEMATIKA DAN
LOGIKA
Menurut RUDOLF CARNAP (1931)
- Konsep matematika dapat diturunkan
dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
- Dalil-dalil matematika dapat
diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis
secara murni.
Menurut BETRAND RUSSEL
- Logika adalah masa muda matematika
dan matematika adalah masa dewasa logika.
LOGIKA DAN KOMPUTER
Arsitektur
sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang
dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.
Program
komputer berjalan di atas struktur penalaran
yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen
program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.
1.2 LOGIKA DAN PERNYATAAN
1.2.1 LOGIKA
PENGERTIAN UMUM LOGIKA
Logika adalah
metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta
mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang
absah. Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan
hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah
memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat
bernilai benar.
Kalimat yang
dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti
matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu
aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak
tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah
dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.
GAMBARAN UMUM LOGIKA
Secara umum logika
dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti
meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate
Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika
tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur
(Fuzzy Logic). Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata
hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.
Logika Predikat
menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah
argumen. Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi
simetri, refleksif, antisimtris, dll.
Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur
himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya. Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak,
nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara
lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam
kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika.
Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas
penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.
ALIRAN DALAM LOGIKA
LOGIKA TRADISIONAL
- Pelopornya adalah Aristoteles
(384-322 SM)
- Terdiri dari analitika dan
dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada
pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang
didasarkan pada dugaan.
LOGIKA METAFISIS
- Dipelopori
oleh F. Hegel (1770-1831 M)
- Menurut
Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap
sebagai kenyataan.
LOGIKA EPISTIMOLOGI
- Diperkenalkan oleh FH. Bradley
(1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
- Prisip dari logika epistimologi
ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan
perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika
harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.
LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS
- Dipelopori oleh Jhon Dewey
(1859-1952)
- Prinsipnya adalah logika merupakan
alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.
LOGIKA SIMBOLIS
- Logika simbolis adalah ilmu
tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod
ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan
seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.
- Pelopornya
adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole
- Logika
ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana
akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian
simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang
bernilai benar atau salah.
- Logika
simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika
formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang
dibicarakan.
1.2.2
PERNYATAAN (PROPOSISI)
Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti,
sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa
dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai
benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga
kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga
proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang
bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
- Yogyakarta
adalah kota pelajar (Benar).
- 2+2=4 (Benar).
- Semua manusia adalah fana (Benar).
- 4 adalah bilangan prima (Salah).
- 5x12=90 (Salah).
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
- Dimanakah letak pulau bali?.
- Pandaikah dia?.
- Andi
lebih tinggi daripada Tina.
- 3x-2y=5x+4.
- x+y=2.
1.2.3
PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk
menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru
yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk
(compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari
kombinasi proposisi lain disebut
proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol
|
Arti
|
Bentuk
|
¬
|
Tidak/Not/Negasi
|
Tidak………….
|
Ù
|
Dan/And/Konjungsi
|
……..dan……..
|
Ú
|
Atau/Or/Disjungsi
|
………atau…….
|
Þ
|
Implikasi
|
Jika…….maka…….
|
Û
|
Bi-Implikasi
|
……..bila dan hanya bila……..
|
Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah
nama buah “
Dinyatakan dengan simbol
p Ù q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari
ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan
simbol logika :
a. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
b. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
c.
Tidak benar bahwa hari ini hari
minggu dan libur
Penyelesaian
a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat
(a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q
b. ¬p Ù¬q
c. ¬(p Ù q)
NEGASI (INGKARAN)
Jika p adalah “
Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p
tersebut adalah Øp yaitu “
Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota
Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp) adalah bernilai salah
(false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI
Konjungsi adalah
suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”
Contoh 1.3:
p: Fahmi makan
nasi
Q:Fahmi minum
kopi
Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan
minum kopi
Pada konjungsi pÙq akan bernilai benar jika
baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai
salah maka pÙq bernilai salah.
DISJUNGSI
Disjungsi adalah
pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.
Kalimat disjungsi
dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a.
INKLUSIF OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p
: 7 adalah bilangan prima
q
: 7 adalah bilangan ganjil
p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus
bilangan ganjil.
b.
EKSLUSIF OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh
:
p : Saya akan melihat pertandingan bola di
TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di
lapangan.
p Ú
q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya
salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika
“Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi
tidak keduanya.
IMPLIKASI
Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau
membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga,
diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA”
sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang
disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan
notasi “Þ”.
Notasi pÞq dapat dibaca :
- Jika p maka q
- q jika p
- p adalah syarat cukup untuk q
- q adalah syarat perlu untuk p
Contoh 1.4:
- p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p Þ q : Jika
Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
- p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?
- Hari benar-benar
hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
- Hari
benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
- Hari
tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
- Hari tidak hujan dan Adi tidak
membawa payung.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua
pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca “ p
jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2
pernytaan hanya akan bernilai benar jika
implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh 1.5 :
p : Dua garis saling
berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling
membentuk sudut 90 derajat.
p Û q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya
jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
TABEL KEBENARAN
p
|
Q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
pÙq
|
pÞq
|
pÛq
|
p Å q
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti
dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak
disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu
kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat
penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q
adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n
variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.
Demikianlah artikel dari saya kurang lebihnya mohon maaf, dan semoga bermanfaat bagi kita semua AMIIEENN... dan jangan lupa commentnya
